В декартовой системе координат уравнение прямой имеет такие виды:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Explicit equation of straight line / slope – intercept form

\(y=k\cdot x + b\), где:
\(k\) – угловой коэффициент (slope), \(k = tan(\alpha)\)

Общие уравнение прямой

General equation of a straight line

\(A\cdot x + B\cdot y + C = 0\)
  • вектор нормали (Normal Vector): \(\vec{n}=(A,B)\)
  • Угол прямой (slope of straight line):
    \(k = tan(\alpha) = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\)
  • Если С = 0, то \(A\cdot x + B\cdot y = 0 => y = -\frac{A}{B}\cdot x \),
    если \(k = -\frac{A}{B}\), то прямая будет проходить через начало координат
  • Если B = 0, то \(A\cdot x + C = 0 => x = -\frac{A}{C}\), прямая паралельна оси Oy
  • Если A = 0, то \(B\cdot y + C = 0 => y = -\frac{B}{C}\), прямая паралельна оси Ox

Уравнение прямой через угол и точку

Equation of a straight line given a point and slope (point-slope form)

\(y = y_0 + k\cdot(x – x_0)\)

Прямая через две точки

Equation of a straight line passing through two points (two-points form)

\(\frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1}\)

или

\( \begin{bmatrix}
x & y & 1 \\
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0
\)

Уравнение прямой в отрезках на осях

Intercept form of a straight line equation

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\), где
a – величина отрезка которая отсекает прямую на оси Ox
b – величина отрезка которая отсекает прямую на оси Oy

Нормальная форма уравнения прямой

Normal form of a straight line equation

\(x\cdot cos\beta + y\cdot sin\beta – p = 0\), где параметр p равен дистанции между прямой и началом координат

Уравнение прямой через вектор и точку

Point direction form of a straight line equation

\(\frac{x – x_1}{m} = \frac{y – y_1}{n}\)

Дистанция от точки до линии

Distance from a point to a straight line

\(d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

Параллельные линии

Parallel line

Прямые \(y = k_1\cdot x +b_1\) и \(y = k_2\cdot x +b_2\) параллельны если \(k_1 = k_2\)

Перпендикулярные линии

Perpendicular line

Прямые \(y = k_1\cdot x +b_1\) и \(y = k_2\cdot x +b_2\) перпендикулярные если \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\) или \(k_1 \cdot k_2 = -1\). Обозначают перепендукулярность \(\bot\)

Угол между прямыми

Angel between straight lines

\(tg\alpha = \frac{k_2 – k_1}{1 + k_1\cdot k_2}\)

Если уравнения заданы в общей форме:
\(cos\alpha = \frac{A_1\cdot A_2 + B_1\cdot B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}\)

Точка пересечений двух линий

Intersection of two lines

\( \begin{cases}
A_1\cdot x + B_1\cdot y + C_1 = 0 \\
A_2\cdot x + B_2\cdot y + C_2 = 0
\end{cases}\)

Координаты находятся как:
\(x = \frac{\Delta_x}{\Delta}\) \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta}\)

где:
\( \Delta = \begin{bmatrix}
A_1 & B_1 \\
A_2 & B_2 \\
\end{bmatrix};
\) \( \Delta_x = \begin{bmatrix}
-C_1 & B_1 \\
-C_2 & B_2 \\
\end{bmatrix};
\) \( \Delta_y = \begin{bmatrix}
A_1 & -C_1 \\
A_2 & -C_2 \\
\end{bmatrix};
\)